CLASE 29.07

Metodos para encontrar raices.

El método de bisección parte de un intervalo $[a,b]$ donde $f(a)f(b)<0$ y usa la fórmula:

$$ x = \frac{a+b}{2} $$

Luego se evalúa:

$$ \text{Si } f(a)f(x) < 0 \Rightarrow b = x $$

$$ \text{Caso contrario } a = x $$

Esto se repite hasta que $|b-a| < \text{tolerancia}$ o $f(x)=0$.

Resumido:

1. Calcular el punto medio: $x = (a+b)/2$.
2. Si $f(a)f(x) < 0$, la raíz está en $[a,x]$ ⇒ $b = x$.
3. Si no, la raíz está en $[x,b]$ ⇒ $a = x$.

Secante

El método de la secante para encontrar raíces de una función $f(x) = 0$ utiliza la fórmula:

$$ x_{k+1} = x_k - f(x_k)\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})} $$

O también se puede escribir como:

$$ x_{k+1} = \frac{x_{k-1} f(x_k) - x_k f(x_{k-1})}{f(x_k) - f(x_{k-1})} $$

• Necesitas dos aproximaciones iniciales $x_{k-1}$ y $x_k$. sino
• A partir de ellas calculas $x_{k+1}$ y sigues iterando hasta cumplir la tolerancia.

El método de Newton-Raphson para encontrar raíces de una función $f(x) = 0$ usa la fórmula:

$$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $$

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¿Dónde puede dar error?

1. Si $f'(x_k) = 0$

   • La fórmula implica una división entre $f'(x_k)$. Si la derivada es cero, el método falla (división por cero).

2. Si $f'(x_k)$ es muy pequeño

   • Puede provocar grandes saltos en la aproximación y la iteración puede divergir.

3. Si la raíz es múltiple

   • La convergencia es más lenta y puede incluso fallar.

4. Si la aproximación inicial $x_0$ está lejos de la raíz

   • El método puede divergir o ir hacia otra raíz.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def metodos_numericos_rectas():
    # Función y su derivada
    def f(x):
        return x**3 - x - 2

    def df(x):
        return 3*x**2 - 1

    # Rango para graficar la función
    x_vals = np.linspace(-2, 3, 400)
    y_vals = f(x_vals)

    fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5))
    titulos = ["Bisección", "Newton-Raphson", "Secante"]

    # ================== MÉTODO DE BISECCIÓN ==================
    a, b = 1, 2
    axs[0].plot(x_vals, y_vals, label="f(x)")
    axs[0].axhline(0, color="gray", linestyle="--")

    for _ in range(5):
        x = (a + b) / 2
        # Recta del intervalo
        axs[0].plot([a, b], [f(a), f(b)], "r-", alpha=0.5)
        axs[0].scatter([x], [f(x)], color="red")
        if f(a) * f(x) < 0:
            b = x
        else:
            a = x

    axs[0].set_title(titulos[0])

    # ================== MÉTODO NEWTON-RAPHSON ==================
    x = 1.5
    axs[1].plot(x_vals, y_vals, label="f(x)")
    axs[1].axhline(0, color="gray", linestyle="--")

    for _ in range(5):
        if df(x) == 0:
            break
        # Puntos y tangente
        y = f(x)
        axs[1].scatter([x], [y], color="blue")
        # Tangente: y = f(x) + f'(x)(X - x)
        X_line = np.linspace(x-1, x+1, 20)
        axs[1].plot(X_line, y + df(x) * (X_line - x), "b-", alpha=0.5)
        x = x - f(x)/df(x)

    axs[1].set_title(titulos[1])

    # ================== MÉTODO DE LA SECANTE ==================
    x0, x1 = 1, 2
    axs[2].plot(x_vals, y_vals, label="f(x)")
    axs[2].axhline(0, color="gray", linestyle="--")

    for _ in range(5):
        axs[2].scatter([x1], [f(x1)], color="green")
        # Dibujar recta secante
        axs[2].plot([x0, x1], [f(x0), f(x1)], "g-", alpha=0.5)
        if f(x1) - f(x0) == 0:
            break
        x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))
        x0, x1 = x1, x2

    axs[2].set_title(titulos[2])

    plt.show()

# Llamar función
metodos_numericos_rectas()

Comparación de métodos

Método	Ventajas	Desventajas
Bisección	(pendiente)	Convergencia lenta
Newton-Raphson	Convergencia rápida (cuando $x_0$ está cerca de la raíz)	LLegan a fallar
Secante	Convergencia rápida y no requiere derivada	LLegan a fallar

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Desarrollo del cálculo del número de iteraciones en Bisección

1. Contexto: El método de bisección parte de un intervalo $[a, b]$ donde sabemos que $f(a) \cdot f(b) < 0$, es decir, la raíz está dentro del intervalo. En cada iteración el intervalo se reduce a la mitad.

2. Longitud del intervalo después de $n$ iteraciones: Al dividir a la mitad el intervalo en cada paso, la longitud del intervalo después de $n$ pasos es:

   $$ L_n = \frac{b - a}{2^n} $$

3. Precisión deseada: Queremos que la longitud del intervalo sea menor o igual a la precisión deseada $\varepsilon$:

   $$ L_n \leq \varepsilon $$

   Entonces:

   $$ \frac{b - a}{2^n} \leq \varepsilon $$

4. Despejamos $n$:

   Multiplicamos ambos lados por $2^n$:

   $$ b - a \leq \varepsilon \cdot 2^n $$

   Dividimos entre $\varepsilon$:

   $$ \frac{b - a}{\varepsilon} \leq 2^n $$

   Tomamos logaritmo base 2 en ambos lados (recordando que $\log_2(2^n) = n$):

   $$ \log_2 \left( \frac{b - a}{\varepsilon} \right) \leq n $$

5. Interpretación: El número mínimo de iteraciones necesarias para asegurar una precisión $\varepsilon$ es:

   $$ n \geq \log_2 \left( \frac{b - a}{\varepsilon} \right) $$

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Resumen:

$$ \boxed{ n = \left\lceil \log_2 \left( \frac{b - a}{\varepsilon} \right) \right\rceil } $$

(donde $\lceil \cdot \rceil$ indica que redondeamos hacia arriba porque el número de iteraciones es entero).

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Claro, aquí te explico por qué y cómo pueden fallar los métodos de Newton-Raphson y Secante por divergencia o ciclos:

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1. Newton-Raphson: causas de fallo

• Derivada cercana o igual a cero Cuando $f'(x_k)$ es cero o muy pequeño, el paso

  $$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $$

  puede dar saltos muy grandes, alejándose de la raíz.

• Elección mala de $x_0$ (punto inicial) Si el punto inicial está lejos de la raíz real, la iteración puede desviarse o incluso ir hacia otra raíz o infinito.

• Raíz múltiple o plana Cuando la raíz no es simple, la convergencia se vuelve lenta o errática, incluso puede no converger.

• Funciones con comportamiento complicado Funciones con múltiples raíces, oscilaciones o singularidades pueden causar que la iteración oscile sin converger (ciclos).

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2. Método de la Secante: causas de fallo

• Diferencia en el denominador cero o cercana a cero En

  $$ x_{k+1} = x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})} $$

  si $f(x_k) \approx f(x_{k-1})$, la división se hace muy grande o indefinida, causando inestabilidad.

• Malos puntos iniciales $x_0, x_1$ Pueden provocar que la secuencia diverja o entre en ciclos.

• Funciones no bien comportadas Igual que Newton, funciones con raíces múltiples, oscilaciones o discontinuidades pueden causar ciclos o divergencia.

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¿Qué es un ciclo?

Un ciclo ocurre cuando la iteración vuelve a un punto anterior y repite un conjunto finito de valores (por ejemplo: $x_3 = x_1$, $x_4 = x_2$, etc.), sin acercarse a la raíz. Es un tipo de no convergencia.

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Resumen rápido

Método	Causas de divergencia o ciclos
Newton-Raphson	Derivada cero o muy pequeña, mal punto inicial, raíz múltiple, oscilaciones
Secante	División por cero (o casi), malos puntos iniciales, función irregular

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Representacion Vectorial

$$ X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2, \quad F(X) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Vamos a resolver y encontar los ceros , para ello encontramos el jacobiano

$$ J_F(X) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix} $$

El metodo de nwton para funciones de ese tipo sera el siguiente tenemos que el original funcion le aplicamos la funcion del jabociano

$$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $$

Esto es newton la original . Pero la division por matrices no existe. Asi que vamos a hacer es hacer la multiplicacion de la inversa de la matriz derivada.

$$ X_{k+1} = X_k - J_F(X_k)^{-1} F(X_k) $$

Esto ultimo es la ecuacion del metodo de newton en varias variables

Y la condicion de paro es $$ |x_{k+1} - x_k| < tol $$

Ejemplo

Este usando el codigo de newton extendido para R*n se puede usar para encontrar los interceptos.

Clase 31.07

Fundamentos para la optimización unidimensional (1D)

Unimodalidad

Una función es unimodal si dentro de un intervalo cerrado $[a, b]$ presenta un único mínimo local, que en este caso también es mínimo global en ese intervalo. Es decir, si aplicamos un algoritmo de optimización, éste siempre convergerá a ese único mínimo.

Unimodal entonces sabemos que hay un mínimo; entonces si aplico un algoritmo sobre eso va a llegar a un único mínimo posible dentro de un intervalo entre $a$ y $b$.

Sin embargo, una función puede no ser unimodal en todo su dominio:

Obvio la función completa no es unimodal, pero respecto al único intervalo se vuelve unimodal y se trabaja en otro intervalo. Realmente, el unimodal es en un intervalo.

Además, incluso si la función presenta picos, saltos o discontinuidades, puede ser considerada unimodal dentro del intervalo si presenta un solo mínimo:

Las funciones pueden ser unimodales con picos o saltos, pero esto no le interesa [al algoritmo], incluso si no es continua. Sino el punto donde hay un mínimo, la función puede ser unimodal.

Esto es clave porque algunos algoritmos de optimización exigen esta propiedad:

Esto es importante porque el algoritmo a ver pide que sea unimodal, un solo mínimo. El proceso es esbozar la gráfica y darse una idea de dónde está el mínimo para aplicarlo.

Bimodalidad y multimodalidad

Una función es bimodal si presenta dos mínimos locales distintos. Se extiende a multimodal cuando tiene más de dos mínimos locales.

Bimodal: dos puntos locales Multimodal: múltiples mínimos o máximos locales

En estos casos, los algoritmos de búsqueda de mínimos pueden converger a diferentes resultados dependiendo del punto de inicio o del intervalo seleccionado. Por eso se busca acotar la función a un intervalo donde sea unimodal.

Algoritmos de optimización 1D

A diferencia de métodos para encontrar ceros de funciones, los algoritmos de optimización 1D buscan el mínimo de una función en un intervalo dado.

En lugar de darme los ceros, me darán el mínimo de la función con un intervalo de trabajo o un punto inicial. Dependiendo del algoritmo puede que pidamos que sea unimodal, diferenciable o que tenga su derivada.

Se estudian métodos que permiten obtener estos mínimos eficientemente, sin calcular derivadas (en algunos casos) ni hacer búsquedas exhaustivas.

Receta general para métodos de optimización 1D

Para aplicar cualquier método de optimización unidimensional se necesita:

1. Intervalo o punto inicial: Indica dónde se buscará el mínimo.
2. Ecuación de actualización: Define cómo se generan nuevos puntos.
3. Criterio de paro: Por número máximo de iteraciones o tolerancia.

Esto trata para meter algoritmos de funciones para saber estos mínimos...

Método de la Razón Áurea (Golden Section Search)

¿Por qué "razón áurea"?

Por ejemplo, $(1 + \sqrt{5}) / 2 \approx 1.618$. Tienen que ver con la proporción áurea, un valor relacionado al Renacimiento, Fibonacci, etc. Esto se llama así porque en una parte del algoritmo aparece este número.

Objetivo

Minimizar una función $f: [a, b] \to \mathbb{R}$, que sea unimodal en $[a, b]$.

Esquema del algoritmo

Si no lo es [unimodal], nuestro trabajo es acortar el intervalo donde sí lo sea.

Se parte del intervalo inicial $[a_0, b_0]$ y se escogen dos nuevos puntos:

$$ a_1 = c, \quad b_1 = d $$

La condición es que debe haber simetría entre la distancia $a_0 - a_1$ y $b_0 - b_1$, es decir, simétrico en esas distancias.

Estos puntos se colocan usando una proporción $p < \frac{1}{2}$, típicamente:

$$ p = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $$

De modo que:

$$ c = b - (b - a)\cdot p, \quad d = a + (b - a)\cdot p $$

Luego:

• Si $f(c) < f(d)$, el mínimo está en $[a, d]$
• Si $f(c) > f(d)$, el mínimo está en $[c, b]$

Estos dos nuevos puntos lo que me indican es elegir un nuevo lugar de trabajo más pequeño que el original.

Algoritmo en pseudocódigo

Algoritmo: (Golden search)
Inputs: [a₀, b₀]: intervalo de búsqueda.
Outputs: x mínimo global de f en [a₀, b₀].

For k = 0, 1, 2, ... hasta que se cumpla criterio de paro:
    cₖ = bₖ − (bₖ − aₖ)(√5−1)/2  
    dₖ = aₖ + (bₖ − aₖ)(√5−1)/2

    xₖ₊₁ = ½(cₖ + dₖ)

    If f(cₖ) < f(dₖ):
        aₖ₊₁ = aₖ, bₖ₊₁ = dₖ
    Else:
        aₖ₊₁ = cₖ, bₖ₊₁ = bₖ

Return xₖ₊₁

Código en Python

(ya lo incluías, no se modifica)

Interpolación Parabólica

Motivación

Supongamos una parábola:

$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$

El mínimo de esa parábola (si $a > 0$) está en:

$$ x = -\frac{b}{2a} $$

Esto nos sirve para entender el segundo algoritmo "Interpolación parabólica".

¿Cómo se construye la parábola?

Le doy tres puntos: $x_0$, $x_1$, $x_2$ y sus respectivos $y_i = f(x_i)$. Entonces construimos una parábola que pase por esos tres puntos.

Una función cuadrática es suficiente para pasar por tres puntos distintos. Si esos puntos son cercanos al mínimo, entonces la parábola se aproxima a la función cerca del mínimo real.

Sistema de ecuaciones lineal

Buscamos los coeficientes $a_k$, $b_k$, $c_k$ de la parábola:

$$ f(x) = a_k x^2 + b_k x + c_k $$

Dado:

$$ (x_k, f(x_k)), \quad (x_{k+1}, f(x_{k+1})), \quad (x_{k+2}, f(x_{k+2})) $$

El sistema se representa como:

$$ \begin{pmatrix} 1 & x_k & x_k^2 \\ 1 & x_{k+1} & x_{k+1}^2 \\ 1 & x_{k+2} & x_{k+2}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_k \\ b_k \\ a_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(x_k) \\ f(x_{k+1}) \\ f(x_{k+2}) \end{pmatrix} $$

Alternativa: Fórmulas explícitas

O simplemente se pueden quemar las fórmulas:

$$ \begin{aligned} c_k &= \frac{(x_{k+1} - x_{k+2})f(x_k) + (x_{k+2} - x_k)f(x_{k+1}) + (x_k - x_{k+1})f(x_{k+2})} {(x_k - x_{k+1})(x_{k+1} - x_{k+2})(x_{k+2} - x_k)} \\ \\ b_k &= \frac{(x_{k+1}^2 - x_{k+2}^2)f(x_k) + (x_{k+2}^2 - x_k^2)f(x_{k+1}) + (x_k^2 - x_{k+1}^2)f(x_{k+2})} {(x_k - x_{k+1})(x_{k+1} - x_{k+2})(x_{k+2} - x_k)} \\ \\ a_k &= \frac{(x_{k+1}x_{k+2}^2 - x_{k+2}x_{k+1}^2)f(x_k) + (x_{k+2}x_k^2 - x_kx_{k+2}^2)f(x_{k+1}) + (x_kx_{k+1}^2 - x_{k+1}x_k^2)f(x_{k+2})} {(x_k - x_{k+1})(x_{k+1} - x_{k+2})(x_{k+2} - x_k)} \end{aligned} $$

Validación

Antes de calcular el nuevo $x = -b_k / 2a_k$, es fundamental verificar que:

$a_k > 0$. Si no, entonces el mínimo no está bien definido (la parábola se abre hacia abajo) → se debe lanzar error o cambiar puntos.

Método de Newton para Optimización

Fundamento

Recordando Newton para ceros:

$$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $$

Ahora queremos encontrar el mínimo de $f$, lo cual ocurre cuando $f'(x) = 0$. Entonces, buscamos ceros de la derivada:

Entonces si quiero el mínimo $f'(x) = 0$, es decir, $x$ es mínimo de $f$, se debe cumplir lo anterior.

Aplicamos Newton a la derivada:

$$ x_{k+1} = x_k - \frac{f'(x_k)}{f''(x_k)} $$

Este método converge rápidamente cuando se cumplen las condiciones necesarias, pero:

Tendremos las mismas desventajas de Newton: derivada igual a cero, ciclos, divergencia, etc.

Observación

Sirve también para encontrar máximos si el segundo derivado es negativo, pero aquí lo usamos para mínimos.

El resto del código y estructura ya lo habías puesto completo y está bien.

Clase 0708

Optimizacion Continua

Problemas de Optimizacion, vamos a pedir siempre que F sea diferencial par apoder calcular las derivadas parciales ,para obtener el $$minf(x)$$.

Ejemplo:

Ejemplos:

$\min_{\mathbf{x}} \frac{\mathbf{x}^T A \mathbf{x}}{\mathbf{x}^T \mathbf{x}}$, donde $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es simétrica.

(cociente de Rayleigh) [En PCA utiliza una funcion donde minimiaza Rayleigh]

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$\min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 + \lambda \sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} - x_i)^2$.

(mínimos cuadrados con regularización de Tychonoff)

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$\min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^{n-1} [(x_{i+1} - x_i^2)^2 + (1-x_i)^2]$.

(función de ROSENBROCK).

Para evitar el overfitting definimos rosenbrock, que eivta eso mismo.

El modelo de regresion normal tene las sumas de cuadrados, ese otro termino es el termino de regularizacion . Para lo que sirve aparte de la primera que es la funcion de error. este nuevo termino para lo que sirve es para obligar a que la curva no tenga tantos cambios

El lambda es muy pequeño , le damos fuerza al error, entonces se encontrara una con muy poco error. Pero cuando sea mas grande, le damos mas regularizacion

Cuando combinamos los 2 obtenemos buenos modelos de regresion

La funcion de test es una funcion que es una funcion complicada de optimizar, entonces cuesta avanzar por la region

Cuando hay regiones planas, el gradiente avanza

Nos sirve para saber de prueba si los algoritmos de optimizacion no se quedan colgando en minios locales.

El proposiot es que ya se sabe donde es el minimo y tus pruebas deben de acercarse a ese minimo

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Gradiente

Para una función diferenciable $f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, recordemos que el gradiente de $f$ en el punto $\mathbf{p} \in \Omega$ es el vector

$$\nabla f(\mathbf{p}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{p}), \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{p}), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{p})\right)^T \in \mathbb{R}^n.$$

El gradiente es un vector donde la funcion crece mas rapido. El negativo del gradiente apunta hacia donde la funcion decrece mas rapido

Cuando quiero maximizar la funcion me conviene usar la informacion del gradiente. Si quiero minimizar usamos el negativo del gradiente.

Esto nos dice que si queremos maximizar solo debemos de invertir el valor de positivo a negativo en problemas de minimizacion

El hessiano es una matriz de nxn van a ir todas las segundas derivadas

El hessiano de una función de varias variables $f(\mathbf{x})$ se define como la matriz cuyas entradas son las segundas derivadas parciales. Si $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$, el elemento en la fila $i$ y columna $j$ de la matriz hessiana se calcula como:

$$(Hess(f)(\mathbf{x}))_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$$

La matriz completa tiene la siguiente forma:

$$ \nabla^2 f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix} $$

Si las segundas derivadas parciales cruzadas son continuas, entonces la matriz hessiana es simétrica. Esto significa que $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$.

La segunda derivada tiene que ver en como se curva, la primera es en el plano tangente.

Los eigen valores del hessiano.

• Eigenvalores todos positivos: La matriz hessiana es definida positiva. Esto significa que la función es cóncava hacia arriba (convexa) en ese punto en todas las direcciones. El punto es un mínimo local.

• Eigenvalores todos negativos: La matriz hessiana es definida negativa. Esto significa que la función es cóncava hacia abajo en ese punto en todas las direcciones. El punto es un máximo local.

• Eigenvalores con signos mixtos (algunos positivos y otros negativos): La matriz hessiana es indefinida. La función es cóncava hacia arriba en algunas direcciones y cóncava hacia abajo en otras. El punto es un punto de silla.

• Eigenvalores iguales a cero: El test es inconcluyente. Se necesita información adicional para determinar la naturaleza del punto crítico.

Minimo la matriz es positiva en un Maximo la matriz es negativa

El problema de los minimos es que hay locales y globales.

x* minimo local cuando

Osea para los puntos a una distancia menor a R del punto y que son mayores a este. Mas afuera no importa que pase

Minimo global es minimo para todo R

Minimo global esctrico es cuando los demas estan sobre este estrictamente mas arriba

Minimo local esctrico es cuando los demas estan sobre este estrictamente mas arriba

Tipos de Extremos

Definición

Un punto $\boldsymbol{x}^{*} \in \Omega$ es un mínimo local aislado de $f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, si $\boldsymbol{x}^{*}$ es mínimo local de $f$ y existe una vecindad $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ de $\boldsymbol{x}^{*}$ tal que $\boldsymbol{x}^{*}$ es el único mínimo local de $f$ en $U$.

Definición

Un punto $\boldsymbol{x}^{*} \in \Omega$ es un mínimo local aislado de $f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, si $\boldsymbol{x}^{*}$ es mínimo local de $f$ y existe una vecindad $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ de $\boldsymbol{x}^{*}$ tal que $\boldsymbol{x}^{*}$ es el único mínimo local de $f$ en $U$.

Un punto $\boldsymbol{x}^{*} \in \Omega$ es un mínimo local no aislado de $f$, si para toda vecindad $U$ de $\boldsymbol{x}^{*}$, existe $\boldsymbol{x} \in U, \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{x}^{*}$, tal que $\boldsymbol{x}$ también es mínimo local de $f$.

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Ejemplo

La función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^{2} \cos \frac{1}{x} + x^{2}, f(0) = 0$, posee un mínimo local no estricto y no aislado en $x = 0$.

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Ejemplo

La función $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = x^{2} \cos \frac{1}{x} + 2x^{2}, g(0) = 0$, posee un mínimo local estricto y no aislado en $x = 0$.

Dificulates:

• nuestros algoritmos se quedan estancados en min locales
• el optimo global puede estar en una region no explorada
• funciones con muchos minimos
• no diferenciable de punto minimo

Descenso Gradiente

El algoritmo usara la informacion del gradiente , para ver a donde se movera, por eso se mueve encontra gradiente

Entonces sabra como empezar, como iterar y como irse moviendo